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En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Definición

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos {Gi}i=1n⊂G{displaystyle {G_{i}}_{i=1}^{n}subset G} tal que:

{1G}=G0⊆G1⊆⋯⊆Gn=G,{displaystyle {1_{G}}=G_{0}subseteq G_{1}subseteq dots subseteq G_{n}=G,}

donde para cada i=0,1,…,n−1{displaystyle i=0,1,dots ,n-1} se cumple que:

• 
  Gi{displaystyle G_{i}} es subgrupo normal en Gi+1{displaystyle G_{i+1}}, notado usualmente como Gi◃Gi+1{displaystyle G_{i}triangleleft G_{i+1}}.

• El grupo cociente Gi+1/Gi{displaystyle G_{i+1}/G_{i}} es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos G(0)=G{displaystyle G^{(0)}=G} y G(i+1)=[Gi,Gi]{displaystyle G^{(i+1)}=[G_{i},G_{i}]}. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

G=G(0)⊇G(1)⊇G(2)…,{displaystyle G=G^{(0)}supseteq G^{(1)}supseteq G^{(2)}dots ,} donde G(i+1)⊲G(i){displaystyle G^{(i+1)}vartriangleleft G^{(i)}} para todo i.

El grupo es soluble si existe n∈N{displaystyle nin mathbb {N} } tal que G(n)={1G}{displaystyle G^{(n)}={1_{G}}}.

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo J{displaystyle J} y un subgrupo normal N⊲J{displaystyle Nvartriangleleft J}, se tiene que J/N{displaystyle J/N} es abeliano si y solo si [J,J]⊆N{displaystyle [J,J]subseteq N}.

Ejemplos

• Todo grupo abeliano es resoluble, ya que {1}⊆G{displaystyle {1}subseteq G} y 1◃G{displaystyle 1triangleleft G}, dado que x⋅1G⋅x−1∈{1G}{displaystyle xcdot 1_{G}cdot x^{-1}in {1_{G}}} y además G/{1}≃G{displaystyle G/{1}simeq G}, por lo que es abeliano.

• 
  S3{displaystyle S_{3}} es resoluble. Basta ver que 1◃A3◃S3{displaystyle 1triangleleft A_{3}triangleleft S_{3}} es una torre abeliana, con An{displaystyle A_{n}} el grupo alternado para Sn{displaystyle S_{n}}.

• 
  A4{displaystyle A_{4}} es resoluble. Basta ver que 1◃V◃A4{displaystyle 1triangleleft Vtriangleleft A_{4}}, es una torre abeliana de A4{displaystyle A_{4}}, donde V={1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}{displaystyle V={1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}}.

• 
  S4{displaystyle S_{4}} es resoluble. Se puede ver que 1◃V◃A4◃S4{displaystyle 1triangleleft Vtriangleleft A_{4}triangleleft S_{4}} es una torre abeliana de S4{displaystyle S_{4}}.

• 
  A5{displaystyle A_{5}} es un grupo no resoluble, ya que se conoce que A5{displaystyle A_{5}} es simple, por lo que la única cadena posible es 1◃A5{displaystyle 1triangleleft A_{5}}, pero A5{displaystyle A_{5}} no es abeliano, dado que (12)(34)(345)≠(345)(12)(34){displaystyle (12)(34)(345)neq (345)(12)(34)}.

Propiedades

• Si G{displaystyle G} es un grupo soluble y f:G→H{displaystyle f:Gto H} es un homomorfismo de grupos entonces f(G){displaystyle f(G)} es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si N⊲G{displaystyle Nvartriangleleft G} y G{displaystyle G} es soluble entonces G/N{displaystyle G/N} es soluble.

• Si G{displaystyle G} es soluble y H≤G{displaystyle Hleq G} entonces H{displaystyle H} es soluble.

• Si N⊲G{displaystyle Nvartriangleleft G} verifican que tanto N{displaystyle N} como G/N{displaystyle G/N} son solubles entonces G{displaystyle G} es soluble.

• De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo G×H{displaystyle Gtimes H} es soluble si y solo si G{displaystyle G} y H{displaystyle H} lo son.

Importancia

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.^[1]​

Referencias