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En matemáticas la desigualdad de Friedrichs es un teorema de análisis funcional gracias a Kurt Friedrichs. Se coloca el límite en la norma L^p de una función utilizando límites L^p en las derivadas débiles de la función y de la geometría del dominio, y se puede utilizar para mostrar que ciertas normas en espacios de Sóbolev son equivalentes.^[1]​

Discusión de la desigualdad

Sea Ω un conjunto acotado del espacio euclídeo Rⁿ con diámetro d. Supongamos u : Ω → R reside en un espacio de Sóbolev W0k,p(Ω){displaystyle W_{0}^{k,p}(Omega )} (i.e. u reside en W^k,p(Ω) y el soporte de u es compacto). Entonces:

‖u‖Lp(Ω)≤dk(∑|α|=k‖Dαu‖Lp(Ω)p)1/p.{displaystyle |u|_{L^{p}(Omega )}leq d^{k}left(sum _{|alpha |=k}|mathrm {D} ^{alpha }u|_{L^{p}(Omega )}^{p}right)^{1/p}.}^[2]​

En lo anterior

• 
  ‖⋅‖Lp(Ω){displaystyle |cdot |_{L^{p}(Omega )}} denota la norma L^p;


• 
  α = (α₁, ..., α_n) es un multíndice con norma |α| = α₁ + ... + α_n;


• D^αu es la derivada parcial
  

Dαu=∂|α|u∂x1α1⋯∂xnαn.{displaystyle mathrm {D} ^{alpha }u={frac {partial ^{|alpha |}u}{partial _{x_{1}}^{alpha _{1}}cdots partial _{x_{n}}^{alpha _{n}}}}.}

Véase también

• Desigualdad de Poincaré

Referencias