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En las progresiones aritmética y geométrica hay variación entre dos términos consecutivos, pero en el caso de una progresión armónica se vinculan tres términos.

Definición

Dados tres números m, n, p se dice que están en razón armónica si mp=m−nn−p{displaystyle {frac {m}{p}}={frac {m-n}{n-p}}}.^[1]​

Una sucesión de números forman una progresión armónica si cada colección de tres términos consecutivos forman una razón armónica.

Ejemplos

• 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15, 1/18,...

• Uno de los casos más interesantes es la sucesión armónica cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n,... donde n es un entero positivo.

la serie 1+12+13+...+1n{displaystyle 1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+...+{frac {1}{n}}} es divergente cuando n tiene a infinito, aunque

el término general 1/n tiende a 0, cuando n tiende a infinito.^[2]​

Proposición

Los inversos multiplicativos de los términos que están en progresión aritmética forman una progresión armónica.

Prueba

Se tiene mp=m−nn−p{displaystyle {frac {m}{p}}={frac {m-n}{n-p}}}

de donde m(n−p)=p(m−n){displaystyle m(n-p)=p(m-n)}

dividiendo cada término por mnp

1p−1n=1n−1m{displaystyle {frac {1}{p}}-{frac {1}{n}}={frac {1}{n}}-{frac {1}{m}}} lo que demuestra la proposición.

Media armónica

Sean m y n dos números y H su media armónica, por lo demostrado

1H−1m=1n−1H{displaystyle {frac {1}{H}}-{frac {1}{m}}={frac {1}{n}}-{frac {1}{H}}}

O sea

2H=1m+1n{displaystyle {frac {2}{H}}={frac {1}{m}}+{frac {1}{n}}}

Finalmente

H=2mnm+n{displaystyle H={frac {2mn}{m+n}}}

Propiedad

Si A, G, H son las medias aritmética, geométrica y armónica entonces la media geométrica es media proporcional entre la media aritmética y armónica.

Esto es ::A:G::G:H{displaystyle ::A:G::G:H} o bien AG=GH{displaystyle {frac {A}{G}}={frac {G}{H}}}

La media armónica de m y n es H=2mnm+n{displaystyle H={frac {2mn}{m+n}}}, que se puede escribir

H=mnm+n2{displaystyle H={frac {mn}{frac {m+n}{2}}}}, o de otra manera H=(mn)2m+n2{displaystyle H={frac {({sqrt {mn}})^{2}}{frac {m+n}{2}}}} (α)

De otro lado G=mn{displaystyle G={sqrt {mn}}} y A=m+n2{displaystyle A={frac {m+n}{2}}} en (α) se tiene

H=G2A{displaystyle H={frac {G^{2}}{A}}} , de donde se obtiene A⋅H=G2{displaystyle Acdot H=G^{2}}, con lo que se prueba la relación

Véase también

• Progresión aritmética


• Progresión geométrica

Referencias