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En la teoría de las probabilidades, medida e integración, el lema de Borel-Cantelli asegura la finitud en casi todos los puntos de la suma de funciones integrables positivas si es que la suma de sus integrales es finita.

Definición formal y demostración

Sea {fn}{displaystyle {f_{n}},} una sucesión de funciones positivas medibles desde el espacio de medida (Ω,A,μ){displaystyle (Omega ,{mathcal {A}},mu )} en los reales. μ{displaystyle mu ,} es la medida. Sea μf{displaystyle mu f,} la integral de f respecto de μ{displaystyle mu ,}. Supongamos que:

∑nμfn<∞{displaystyle sum _{n}mu f_{n}<infty }

entonces por convergencia monótona μ∑nfn=∑nμfn<∞{displaystyle mu sum _{n}f_{n}=sum _{n}mu f_{n}<infty }. Por ende la función ∑nfn{displaystyle sum _{n}f_{n},} es finita c.t.p.-μ{displaystyle mu ,}.

Si la sucesión de funciones son indicatrices de conjuntos An{displaystyle A_{n},} en A{displaystyle {mathcal {A}},}, o sea fn=χAn{displaystyle f_{n}=chi _{A_{n}}} y la medida P{displaystyle mathbb {P} } es de probabilidad entonces: ∑nPAn<∞{displaystyle sum _{n}mathbb {P} A_{n}<infty } implica que ∑nχAn<∞{displaystyle sum _{n}chi _{A_{n}}<infty } c.t.p.-μ{displaystyle mu ,}, es decir, en Ω{displaystyle Omega ,}, el conjunto de los puntos que pertenecen a infinitos An{displaystyle A_{n},} tiene probabilidad cero.

Bibliografía

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).